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    本文介绍了微分算子法，一种用于求解高阶线性非齐次微分方程的方法。该方法简洁高效、易理解、易上手，但在考试中计算错误将导致得分为零。文章详细介绍了微分算子法中的运算符D和1/D的定义及使用情景，以及针对不同类型的函数如$e^kx$和$sin/cosax$的具体应用步骤。文章提供了解决分母为0的情况的方法，即在等式右边乘上一个变量然后对分母进行求导，直到分母不为0为止。

    微分算子法，一种用于求解高阶线性非齐次微分方程的方法，特点是简洁高效、易理解、易上手。
    不过值得一提的是微分算子法在考试中使用时如果计算错误，将面临无法得分的窘境，因此建议在草稿纸上使用以简化计算，卷面上使用其他的方法。
    下面是几种微分算子法的使用情景。

    对于微分算子法中出现的 D 和 1/D 是在此方法中定义的一种运算符，因此，在解题时使用它们时需要特别说明！

    其中 D 代表对右侧函数进行求导
    例：

    D6=0Dx2=2xDsin⁡x=cos⁡xD2x2=D2x=2(D+1)sin⁡x=Dsin⁡x+sin⁡x=cos⁡x+sin⁡xD6=0\\ Dx^2 = 2x \\ D\sin{x} = \cos{x} \\ D^2x^2 = D2x = 2 \\ (D+1) \sin{x} = D \sin{x} + \sin{x} = \cos{x} + \sin{x}

    1D\frac{1}{D} 代表对右侧函数进行积分
    例:

    1D2x=x212Dsin⁡x=121Dsin⁡x=−12cos⁡x(1D)26x=1D3x2=x3\frac{1}{D} 2x = x^2 \\ \frac{1}{2D} \sin{x} = \frac{1}{2} \frac{1}{D} \sin{x} = -\frac{1}{2} \cos{x}\\ (\frac{1}{D})^2 6x = \frac{1}{D} 3x^2 = x^3

    而值得注意的是型如1D−1\frac{1}{D-1} 这样的是无法直接计算的

    # 型一 f(x)=ekxf(x)=e^kx 型

    见 k 换 D

    例：求 y′′−3y′+2y=e2xy'' -3y' + 2y = e^2x 的解
    第一步：写出微分方程的特征方程λ2−3λ+2=0\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0, 然后根据特征方程写出f(D)f(D)
    而在这道题中，f(D)=1D2−2D+2f(D)=\frac{1}{D^2 - 2D +2}，然后将λ\lambda 替换成 D，最后再求倒
    第二步：设特解y∗=f(D)f(x)=1D2−2D+2e2xy^*=f(D)f(x)=\frac{1}{D^2 - 2D +2}e^2x，这里微分方程的右边是什么f(x)f(x) 就是什么
    第三步：将ekxe^kx 中的 k 代入 D 计算即可得到微分方程的特解

    y∗=1D2−2D+2e2x=14−4+2e2x=12e2xy^*=\frac{1}{D^2 - 2D +2}e^2x=\frac{1}{4-4+2}e^2x=\frac 12e^2x

    例 1：求y′′−2y′+y=3exy''-2y'+y=3e^x 的解
    第一步写出特征方程λ2−2λ+1=0\lambda^2-2\lambda+1=0，然后写出f(D)=1D2−2D+1f(D)=\frac{1}{D^2-2D+1}
    第二步设特解y∗=1D2−2D+13exy^*=\frac{1}{D^2-2D+1}3e^x
    第三步将 k 代入 D 求解，y∗=11−2+13ex=103exy^*=\frac{1}{1-2+1}3e^x=\frac103e^x
    此时发现分母为 0 了怎么办，面对这种情况
    首先，回到第二步，然后在等式右边乘上一个 x 然后对分母进行求导，得到y∗=x12D−23exy^*=x\frac{1}{2D-2}3e^x
    如果此时分母仍然是 0，重复刚才的步骤直到分母不为 0
    这时候我们得到y∗=x2123ex=32x2exy^*=x^2\frac123e^x=\frac32x^2e^x

    # 型二 f(x)=sin/cosaxf(x)=sin/cosax 型

    见 a 换D2D^2, 并且只能换D2D^2，只有一个 D 是不能换的

    例: y′′+4y=cos2xy''+4y=cos2x，求 y*
    前面步骤一样，写特征方程，设特解y*=\frag{1}{D^2+4}\cos{2x}